鱼羊 发自 凹非寺

AI当今简直开启数学解释涤荡模式了。

刚刚，又非凡学怜爱者用GPT-6 Astra把一个57年数学弯曲鼓舞了一大步。

问题听上去倒是不复杂：

给你N个半径为1的圆盘，怎么把它们塞进一个大圆里，本事让大圆的半径尽可能小？

事实上，数学家们也确乎在1969年就给出了漂亮的排列有经营，只不外……57年来，谁也没能严格解释那等于最优解。

于是这一次，数学怜爱者nor掏出了GPT-6 Astra……然后一语气把15、16、17、18和20这5种情况，也等于≤20的剩余情况皆给严格解释了……

此前，唯有N≤14和N=19的情况照旧获取考据。

啊对了，N到20，并不是AI的极限，仅仅nor没想着往下证了……

卡了半个世纪的解释

我们先把这个问题用更数学的体式来归置归置。

假定有N个半径均为1的圆盘，以及一个半径为R的大圆。

要求：

通盘小圆盘必须透彻位于大圆里面，不错与大圆界限相切，但不行超出界限。

落拓两个小圆盘不行发生里面类似，但允许互相相切。

小圆盘不错在大圆内落拓迁徙、排列，不规矩排列风光。

问题是：关于给定的正整数N，大圆半径R最小不错是几许？

看上去是一起平平无奇奥数题，但实质上，寻找最优排列仅仅问题的第一层，但就难在如何严格在数学上解释，排列照旧达到极限，莫得其他更好的摆法。

在1968年，好意思国数学家葛立恒就解释了N≤7的情况。

1969年，数学商议者Udo Pirl把解释范围鼓舞到10个圆盘，并进一步商议了11-19个圆盘的排列有经营。

但一直到2003年前后，N≤14以及N=19的情形才被严格解释。

nor是一位始终商议数学、机器学习和优化算法的技能作家，屡次公开参与AI接济数学商议。

他本东谈主在十多年前就关心到了这个题目，而这个问题在夙昔十几年间确乎也没啥施展……

那还说啥，丢给GPT-6 Astra赶巧（bushi）。

nor也递次渐进的：先让GPT-6 Astra处理N=15的情况；模子处分之后，再让它把同样的方法实行到16、17，以及18和20……GPT-6 Astra皆得胜给出了解释成果。

仅仅嘛……

解释进程一如既往晦涩难解，令东谈主微辞。

浅近来说，GPT-6 Astra的中枢念念路是：

不再径直寻找最优解，而是通过几何拘谨，把无穷多种可能的排列缩减为有限的情况，再用计较机逐个转除，最终严格解释经典排列照旧最优。

解释进程分为5步：

把靠外的圆盘推向界限。解释在粗莽特定条款时，不错把聚集外圆的圆盘向外迁徙，而不会引起类似。这样就把圆盘分红了界限上的一组和里面的一组。

诈欺角度干系抹杀大皆排列。因为圆盘不行类似，它们之间必须保抓一定的角度隔断。如若某种排列要求的角度总额跨越360°，就不错径直抹杀。

让计较机陈设剩余可能。不再搜索每个圆盘的具体坐标，而是检讨圆盘到圆心的距离区间过头环绕次序。

用几何刚性解释精准最优。前边的搜索只可解释，通盘可行排列皆绝顶接近已知的经典排列。接下来诈欺圆盘之间的斗殴拘谨，解释这些排列无法发生合乎条款的微小变形，从而把“绝顶接近”进步为“严格一致”。15个圆盘的情况使用了另一种奇数环论证。

归附原始排列。临了解释，原始排列中势必至少有一个圆盘斗殴外圆界限。这意味着不可能把通盘圆盘塞进半径更小的外圆，从而完成最优性解释。

值得强调的是，并不是nor给了一轮领导词，Astra就哐哐哐全给证罢了。

nor在博客著作中写谈，他看成东谈主类，在这项使命种的孝顺包括：

细则问题的可行性、雷同模子、与破绽百出的网页用户界面作斗争、隐忍倒霉的案牍、拓荒轻细问题、仔细酌量施展、手动考据其有用性，以及使用Astra和Opus 5.5从头检讨通盘内容。

One More Thing

挺专门义的一件事是，nor把成果一发出来，发现用AI在商议合并个问题的同谈中东谈主还不少。

还有网友暗示，AI的冲突让数学变得更容易默契了，“我皆不知谈数学限制能有这样浓厚的探索氛围”。

站在数学怜爱者们的角度来说，亦然一种数学2.0时间的新气象吧。

原文连气儿：

[1]https://nor-blog.pages.dev/posts/2026-10-11-circle-in-circle-packing-15-20/

[2]https://x.com/norxornor/status/2109078411251454017

— 完 —